Главная Вопросы-ответы Новости О профессиях Тесты IQ, ЕГЭ, ГИА
все темы
все уроки
создана: 31.10.2016 в 20:32 ................................................
Kristina-Welker :
Докажите что при неотрицательных значениях a и b верно неравенство (a+1)(b+1)(ab+1)≥8ab
Для доказательства надо воспользоваться соотношением между средним арифметическим и средним геометрическим для двух неотрицательных чисел:
a+b ≥ 2√(ab)
при b=1 получим а+1 ≥ 2√а (1)
при a=1 b+1 ≥ 2√b (2)
Аналогично с+1 ≥ 2√с
Заменим с на ab, получим ab +1 ≥ 2√(ab) (3)
Перемножим левые части неравенств (1), (2), (3) и запишем слева,
а произведение правых частей неравенств запишем справа.
Т.к. все выражения неотрицательны,
то знак полученного неравенства не изменится.
(а+1)*(b+1)*(ab+1) ≥ 2√а *2√b * 2√(ab)
(а+1)*(b+1)*(ab+1) ≥ 8√а*√b *√(ab)
(а+1)*(b+1)*(ab+1) ≥ 8ab. Доказано.